数学家发现自然界中常见的新形状
2024年9月20日数学家发现自然界中常见的新形状“软细胞”——具有圆角和尖端的形状，在一个平面上排列在一起——是洋葱、软体动物等的特征。菲利普·鲍尔
鹦鹉螺壳的腔室可以用3D软细胞来描述。数学家们描述了一种新的形状，这种形状是自然界常见的形状的特征——从鹦鹉螺标志性的螺旋壳中的小室到种子装入植物的方式。这项工作考虑了“镶嵌”的数学概念:形状如何在表面上镶嵌。自古以来，用相同的瓷砖填充一个平面的问题已经被彻底地探索过了，以至于人们很容易认为关于这个问题已经没有什么可发现的了。但是研究人员用一组新的具有圆角的几何积木推导出了镶嵌的原理，他们称之为“软细胞”。“几何可以非常简单，但却非常深奥”:来见见顶级数学奖获得者克莱尔·沃辛“简单地说，以前没有人这样做过”，没有参与这项工作的纽约市国家数学博物馆的数学家Chaim Goodman-Strauss说。“有这么多基本的东西要考虑，真让人吃惊。”众所周知，几千年来，只有某些类型的多边形瓷砖，如正方形或六边形，可以包装在一起，以填补2D空间没有差距。自20世纪80年代发现称为准晶体的非周期性结构以来，填充空间而没有规则重复排列的镶嵌物，如彭罗斯镶嵌物，已经引起了人们的兴趣。去年，Goodman-Strauss和他的同事们宣布了第一个准周期镶嵌，没有任何真正的周期性，只用了一种瓷砖形状。
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软镶嵌:一种叫做软单元的新形状的例子，它在一个平面上镶嵌并且有弯曲的边缘。资料来源:参考文献。一避开角落布达佩斯技术和经济大学的数学家Gábor Domokos和他的同事重新研究了周期性多边形镶嵌——但是考虑了当一些角是圆形时会发生什么。在二维空间中，不是所有的角都能被倒圆而不留缝隙。但是当一些角变形为“尖角形状”时，空间填充镶嵌就成为可能。这些角的内角为零——它们的边缘相切，就像一滴泪珠，它们紧贴着圆角(参见“软镶嵌”)。Domokos和他的同事们设计了一种算法，可以将几何瓷砖——2D多边形或3D多面体，如泡沫的气泡——平滑地转换成软细胞，并探索了这些规则允许的可能形状范围。在2D，选择相当有限:所有瓷砖都必须至少有两个尖角。但是在3D中，引入柔和会带来一些惊喜。特别是，这些软细胞可以填充体积空间，而没有任何角落。研究人员设计了一种定量测量这种充满空间的3D瓷砖“柔软”程度的方法，并发现最柔软的不是紧凑的形状，而是在其边缘形成法兰状的圆形“翅膀”，通常出现在马鞍状瓷砖表面。最柔软的形状元素实际上是圆盘，3D瓷砖的凸缘近似圆盘。扭结的代价Domokos认为，对于任何给定的初始多面体镶嵌，都存在一个具有最大可能柔软度的独特镶嵌。他还怀疑，在真实的材料中，这种最佳状态会使一些物理量最大化，比如说，边缘的弯曲能量或界面张力。他承认，他和他的同事们目前没有证据证明这个最大柔软度猜想，但希望“有更聪明的人会发现并证明这一点”。
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自然界的软细胞:洋葱中发现的软细胞形式的例子，由河流侵蚀和贝壳内部引起。资料来源:参考文献。一研究人员在2D形状的辫状河中的岛屿、洋葱同心层的横截面和组织中的生物细胞，以及海洋软体动物鹦鹉螺的螺旋壳的3D隔间中识别出了自然界中的软镶嵌物(参见“自然的软细胞”)。他们认为，大自然通常会避免拐角，因为这种扭结在变形能量方面成本很高，可能是结构薄弱的来源。多莫科斯说，研究鹦鹉螺号是这项工作的“转折点”。在横切面上，壳层看起来像有两个角的2D软细胞。但是同样在布达佩斯科技经济大学的合著者克里斯汀娜·regős怀疑实际的3D房间根本没有角落。“这听起来难以置信，”多莫科斯说。“但后来我们发现她是对的。”古代几何学鉴于这种分析使用了几个世纪以来就为人所知的数学，直到现在还没有人正式提出软细胞的概念，这似乎令人惊讶。但是Goodman-Strauss怀疑“软边对几何学家来说是一个很大的阻碍，他们以前没有考虑过这个问题”。“多边形和多面体镶嵌的宇宙是如此迷人和丰富，数学家们不需要扩大他们的游乐场，”多莫科斯说。他怀疑有一种普遍的看法，即新的见解需要高等数学或尖端计算，而不仅仅是成熟的几何方法。
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巴库的海达尔·阿利耶夫中心是由建筑师扎哈·哈迪德设计的，他的建筑使用软单元来避免或尽量减少角落。图片来源:姆拉登·安东诺夫/法新社古德曼-斯特劳斯认为这项工作提供了“一种结构的描述性语言”，但这可能还没有揭示出自然界中这种结构形成背后的新的物理原理。他说，为了理解河岸，可能仍然有必要从基本原理来考虑物理过程，例如流动、沉积物搬运和侵蚀的作用。多莫科斯和他的同事认为，出于美学或结构的原因，像扎哈·哈迪德这样的建筑师长期以来一直直觉地使用软细胞来避免或尽量减少角落。自完成论文以来，多莫科斯和英国牛津大学的合著者Alain Goriely与旧金山加州艺术学院的建筑师合作，他们设计了一个获奖的结构，使用了由蛋壳适当制成的软细胞元素。doi:https://doi.org/10.1038/d41586-024-03099-6参考1.多莫科斯，g .，戈里伊利，a .，霍瓦特，A. G. & Regős，k .，PNAS Nexus 3，pgae311 (2024)。文章谷歌学术2.史密斯博士、迈尔斯博士、卡普兰博士和古德曼-斯特劳斯博士。Theor。https://doi.org/10.5070/C64163843(2024年)。文章谷歌学术
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